В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АВ и площадью 30, точка О-центр вписанной окружно…
В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АВ и площадью 30, точка О-центр вписанной окружности. Площадь треугольника АОВ равна 13. Найти длины сторон треугольника.
1 Ответ (-а, -ов)
Обозначим: Точки касания вписанной окружности с АВ — К, с СВ -М, с АС- Р. АР=АК, ВМ=ВК. Сл-но треугольники АОР=АОК, ВОК=ВОМ. Известна площадь треугольника АОВ, которая состоит из треугольников АОК и ВОК. Значит сумма площадей АОР и МОВ тоже равна 13. Площадь АВС по условию=30. 30-13-13=4. Это площадь квадрата СРОМ, сторона которого равна радиусу вписанной окружности. Отсюда радиус =2. Теперь можно вычислить гипотенузу, площадь треугольника АОВ=1/2*АВ*2 1/2*АВ*2=13 АВ=13. а²+b²=13² 1/2ab=30. Решаем систему уравнений. Выразим из второго b через а, b=60/а и подставляем в первое уравнение . а²+(60/а)²=169 Получим биквадратное уравнение а^4-169a^2+3600=0. Введем новую переменную t=a². Решаем квадратное уравнение, получим t=25. Сл-но а=5, b=60/5=12. Ответ: стороны треугольника 5, 12, 13.