Найдите произведение корней уравнения x^3+3x^2-3x-1=0
?
2 Ответ (-а, -ов)
Так как d=-1, разделим уравнение на х-1
x³+3*x²-3*x-1 ∟x-1
⁻x³-x² x²-4*x+1
⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻
4*x²-3*x
⁻4*x²+4*x
⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻
x-1
⁻x-1
⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻
0
x³+3*x²-3*x-1=(x²-4*x+1)*(x-1)=0
x²-4*x+1=0 x₁,₂=(4±√(4²-4*1))/2=(4±√12)/2=(4±2*√3)/2=2±√3
x₁=2-√3
x₂=2+√3
x-1=0 x₃=1
x₁*x₂*x₃=(2-√3)*(2+√3)*1=2²-(√3)²=4-3=1
x³+3*x²-3*x-1 ∟x-1
⁻x³-x² x²-4*x+1
⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻
4*x²-3*x
⁻4*x²+4*x
⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻
x-1
⁻x-1
⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻
0
x³+3*x²-3*x-1=(x²-4*x+1)*(x-1)=0
x²-4*x+1=0 x₁,₂=(4±√(4²-4*1))/2=(4±√12)/2=(4±2*√3)/2=2±√3
x₁=2-√3
x₂=2+√3
x-1=0 x₃=1
x₁*x₂*x₃=(2-√3)*(2+√3)*1=2²-(√3)²=4-3=1
Подбираем один из корней наугад. Очевидно, что 1 подходит:
1 + 3 -3 — 1 == 0
Делим многочлен на (x — 1)
x^3 + 3 * x^2 -3*x — 1 | x — 1
———
x^3 — x^2 x^2 + 4*x + 1
4 * x^2 — 3*x
4 * x^2 — 4*x
x — 1
x — 1
0
Т.о. исходное уравнение превращается в:
(x — 1) * (x^2 + 4*x + 1) = 0
Один из корней уже найден, произведение оставшихся ищем по т. Виетта, предварительно проверив, есть ли корни в принципе.
D = 16 — 4*1*1 = 12 — имеется два вещественных корня.
x1 * x2 = 1
Вспоминаем про первый найденный корень, но он равен 1, так что произведение не меняет.
Итого, произведение корней = 1
1 + 3 -3 — 1 == 0
Делим многочлен на (x — 1)
x^3 + 3 * x^2 -3*x — 1 | x — 1
———
x^3 — x^2 x^2 + 4*x + 1
4 * x^2 — 3*x
4 * x^2 — 4*x
x — 1
x — 1
0
Т.о. исходное уравнение превращается в:
(x — 1) * (x^2 + 4*x + 1) = 0
Один из корней уже найден, произведение оставшихся ищем по т. Виетта, предварительно проверив, есть ли корни в принципе.
D = 16 — 4*1*1 = 12 — имеется два вещественных корня.
x1 * x2 = 1
Вспоминаем про первый найденный корень, но он равен 1, так что произведение не меняет.
Итого, произведение корней = 1